Re: Cantor Confusion


*** T. Winter schrieb:

In article <1163505343.116057.183460@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx> mueckenh@xxxxxxxxxxxxxxxxx writes:
> *** T. Winter schrieb:
> > In article <1163428158.317887.311810@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx> mueckenh@xxxxxxxxxxxxxxxxx writes:
> > > *** T. Winter schrieb:
> > > > > Cantor considered well-ordering as a first principle,
> > > > > Zermelo introduced it at a first principle = axiom. Cantor was
> > > > > wrong, Zermelo was right?
> > > >
> > > > Cantor did state it without suggesting either that it was a first
> > > > principle or something else. He just assumed it. And he was wrong
> > > > with that assumption.
> > >
> > > You are wrong. "Der Begriff der wohlgeordneten Menge weist sich als
> > > fundamental für die ganze Mannigfaltigkeitslehre aus. Daß es immer
> > > möglich ist, jede wohldefinierte Menge in die Form einer
> > > wohlgeordneten Menge zu bringen, auf dieses, wie mir scheint,
> > > grundlegende und folgenreiche, durch seine Allgemeingültigkeit
> > > besonders merkwürdige Denkgesetz werde ich in einer späteren
> > > Abhandlung zurückkommen." (Cantor, Collected works, p.169)
> >
> > Ah, I missed that one. So he uses it as an axiom.
>
> Not in your sense. He wrote, for instance to Killing, on April 5,
> 1895:
> Was Herr Veronese darüber in seiner Schrift giebt, halte ich für
> Phantastereien und was er gegen mich darin vorbringt, ist unbegründet.
>
> Ueber seine unendlich großen Zahlen sagt er, daß sie auf anderen
> Hypothesen aufgebaut seien, als die meinigen. Die meinigen beruhen aber
> auf gar keinen Hypothesen sondern sind unmittelbar aus dem natürlichen
> Mengenbegriff abgezogen; sie sind ebenso nothwendig und frei von
> Willkür, wie die endlichen ganzen Zahlen.
>
> You see: Gar keine Hypothesen. Cantor's axioms are not chosen but they
> are necessary.

Yes, he did regard it as such, that does not mean that he is right.

And it does not mean that he is wrong. You cannot even decide this
question without arbitrarily assuming axioms. Your choice is willful.
Therefore your results do not prove anything and are without value.
Cantor created absolute truth, at least where he avoided technical
errors like his diagonal argument.

In
principle no axiom is necessary. But you need a few to have some start
to work with.

That's the question. By means of axioms you can produce conditional
truth at most. I am interested in absolute truth. Axioms will not help
us to find it. I don't think we need any axioms.

Regards, WM

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