Congruent Numbers, UPINT D27

In R. K. Guy's "Unsolved Problems in Number Theory"
Chapter D27, there is a remarkable difference between
the second edition (1994) and the third edition (2004).

(Caution: the term "congruent" has a special meaning
here describing the property of single numbers. It has
nothing to do with division and remainders. In short:
A number a is called "congruent number" if it is the
area of a rectangular triangle with all sides rational.)

1994:
===============
It has long been conjectured that squarefree numbers are
congruent if they have the form 8k+5 or 8k+6 or 8k+7.
This is not known to be true [modulo some widely believed
conjectures concerning elliptic curves].
===============

2004:
===============
It has long been conjectured that squarefree numbers are
congruent if they have the form 8k+5 or 8k+6 or 8k+7.
Since the work of Tunnell, this is now known to be true.
===============

At first I did expect some work of Tunnell after his
ground breaking work

Jerold B. Tunnell, A classical diophantine
problem and modular forms of weight 3/2,
Invent. Math. 72(1983) 323-334; MR 85d:11046.

But then I realized there was nothing newer mentioned in the
references. That led me to the conclusion that something
wonderful might have happened to the "widely believed
conjectures" in the meantime. There is a work of Franz
Lemmermeyer being cited in the third edition, so Franz
surely knows what he is talking about:
http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/publ/noncongr.pdf

He told me in our German newsgroup de.sci.mathematik these
days that he doubts the "known to be true" phrase in the
newest edition of UPINT. And he also gave a short outline
to back up his opinion.

It was given by him with due simplifications for the
d.s.m. audience, saying: "I will have to lie in the
following. For a deeper understanding please look up
the book of Koblitz". This book of Koblitz is not in
the references of UPINT but as reference [17] in Franz
Lemmermeyer's paper.

With these precautions I am sure that Franz Lemmermeyer
will not be too angry if I copy his words into this
newsgroup sci.math:

====== From Franz Lemmermeyer ======================

Das halte ich fuer ein Geruecht. Die Kurve (3)
hat Geschlecht 1, und es ist eine der leichteren
Uebungen zu zeigen, dass sie in Weierstrassform
E_n: y^2 = x^3 - n^2 x
geschrieben werden kann (ich bevorzuge n statt a).
Ebenfalls nicht schwierig zu sehen ist, dass n genau
dann kongruent ist, wenn E_n positiven Rang besitzt.
Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer (BSD)
besagt nun, dass dies genau dann der Fall ist, wenn
E_n analytischen positiven Rang hat; dass dies fuer
n = 5, 6, 7 mod 8 der Fall ist, ist aber einfach
zu sehen.

Waere Guys Aussage richtig, wuerde das bedeuten,
dass man zumindest eine schwache Version von BSD
bewiesen haette - das waere allerdings weltweit
aufgefallen.

Hier mal etwas Hintergrund (ich werde im folgenden
des oefteren luegen, dass sich die Balken biegen;
wer es genau wissen will, sollte in das Buch von
Koblitz schauen, das sich genau diesem Thema widmet).
Jede Gerade durch 2 Punkte auf einer kubischen Kurve
schneidet diese in einem dritten Punkt; sind die beiden
gegebenen Punkte rational, gilt das auch fuer den
dritten. Der Menge der rationalen Punkte (x,y) auf
einer elliptischen Kurve kann man eine Gruppenstruktur
geben, indem man verlangt, dass drei Punkte sich zu
0 addieren, wenn sie auf einer Geraden liegen. Mordell
hat gezeigt, dass es immer rationale Punkte P_1, . . . ,
P_r gibt, so dass sich jeder rationale Punkt P auf E
in der Form P = a T + a_1 P_1 + . . . + a_r P_r schreiben
laesst, wo die a, a_i ganze Zahlen und T ein Punkt endlicher
Ordnung ist; das kleinste moegliche r nennt man den
Mordell-Weil Rang von E. Die klassische Analogie: jede
Loesung der Pellschen Gleichung x^2 - dy^2 = 1 kann
man in der Form T^a P^b schreiben, wo T = -1 = (-1,0)
ein Punkt der Ordnung 2 und P = (t,u) die Fundamentalloesung
bezeichnet; die Pellsche Gleichung hat also "Rang 1".

Die Bestimmung des Rangs ist in der Regel nicht leicht.
Das wesentliche Problem dabei ist die Tate-Shafarevich
Gruppe. Deren Elemente sind so in etwa Kurven der Form
(3) mit der Eigenschaft, dass sie als Kongruenz modulo N
fuer jede natuerliche Zahl N loesbar sind, aber keine
nichttriviale rationale (oder, was dasselbe ist, ganze)
Loesung besitzen. Auf der Menge solcher Kurven kann man
ebenfalls eine "Addition" definieren, die weitlaeufig
mit der Komposition der Klassen quadratischer Formen
verwandt ist. Der Nachweis, dass diese Gruppen fuer
jede elliptische Kurve endlich sind, ist Teil von BSD.

Um diese Vermutung zu beschreiben, ordnen wir jeder
elliptischen Kurve eine L-Reihe zu. Das geht so: zu
jeder Primzahl zaehlt man die Loesungen von E mit
Koordinaten in endlichen Koerpern mit q^m Elementen;
aus diesen Anzahlen bastelt man sich eine Art erzeugende
Funktion, von der Artin 1920 zeigen konnte,dass sie, bis
auf triviale lineare Faktoren im Nenner, ein Polynom vom
Grad 2 ist (Hasse hat dann in den 30er Jahren gezeigt,
dass die Nullstellen Betrag 1/sqrt(p) haben, was zur
Riemannschen Vermutung ueber endlichen Koerpern
aequivalent ist). Multipliziert man diese quadratischen
Polynome und bildet den Kehrwert, erhaelt man eine
Funktion L(s), die fuer s > 2 konvergiert. Wie man seit
Wiles & Co weiss, kann man L(s) auf die ganze komplexe
Ebene fortsetzen, wo sie einer Funktionalgleichung
genuegt, welche die Werte L(s) und L(2-s) verknuepft.
[Vor Wiles konnte man noch sagen, BSD wuerde die Ordnung
einer Gruppe, von der man nicht weiss, dass sie endlich
ist, mit dem Wert der r-ten Ableitung einer Funktion
an einer Stelle verbinden, wo man nicht weiss, dass
sie definiert ist.] In gewissen Faellen impliziert diese
Gleichung, dass L(1) = 0 ist (so in etwa wenn die
Funktionalgleichung L(s) = -L(2-s) lautet; setzt man
s=1, folgt L(1) = 0. Etwas in dieser Richtung passiert
fuer E_n und n = 5, 6, 7 mod 8).

Nun besagt aber BSD folgendes:
1. L(s) hat eine Nullstelle der Ordnung r in s=1;
diese nennt man den analytischen Rang von E.
Damit gilt: analytischer Rang = Mordell-Weil-Rang.
2. Es gibt eine Formel fuer das Residuum von 1/L(s) in s=1.
Darin tritt die Ordnung von Tate-Sha als Faktor auf.
Insbesondere ist Tate-Sha endlich.

Aussage 1 ist die schwache Vermutung von BSD, und die
ist fuer Rang r=0 und r=1 bekannt. Wesentliches
Hilfsmittel dabei sind die Heegner-Punkte (Heegner
war ein Privatgelehrter ohne feste Anstellung im
Nachkriegsberlin; seine Loesung des Gauss'schen
Klassenzahl-1-Problems wurde erst anerkannt, als
er schon gestorben war). Dies sind Punkte, deren
Koordinaten nicht rational sind, sondern in gewissen
"Klassenkoerpern" liegen. Durch Normbildung erhaelt
man dann Punkte mit rationalen Koordinaten, und wenn
der analytische Rang 1 ist, kann man zeigen, dass diese
Punkte unendliche Ordnung haben. (In der Pell-Analogie
sieht das so aus, dass man sich Einheiten in
Kreisteilungskoerpern hernimmt und dann die Norm
in den quadratischen Teilkoerper nimmt; dass das geht,
haben schon Dirichlet und Jacobi gesehen). Ist der
Rang aber > 1, sind die Normen der Heegner-Punkte
trivial, und kein Mensch weiss bisher, was man in
diesem Fall machen koennte.

Ist n = p = 5, 7 mod 8 prim, so kann man uebrigens
leicht zeigen, dass der Mordell-Rang <= 1 ist;
mit den oben angedeuteten Methoden bekommt man es
dann - wenn ich mich recht entsinne - auch hin
zu zeigen, dass der Rang = 1 ist. Im allgemeinen
Fall bezweifle ich das aber.

=========================================================

I pondered whether I should ask dear Mr. Guy himself,
but as congruent numbers seem to be a lovely thing to
play with, I am sure that sci.math is not so bad a place
for my question.

Best regards,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@xxxxxx
.

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